lmer包混合效应模型入门
Brief Introduction
01
混合效应模型简介：
混合效应模型（Mixed-effects model，也称为多水平模型、随机系数模型或层次线性模型）：是一种统计模型，用于分析具有复杂数据结构的数据混合矩阵，特别是在存在固定效应和随机效应之间的交互时。混合效应模型主要用于研究数据中的群体和个体差异。
定义：混合效应模型包含两种类型的变量：固定效应和随机效应。
混合效应模型可以表示为：
y = Xβ + Zυ + ε
其中 y 是观测数据，X 和 Z 分别是与固定效应参数 β 和随机效应参数 υ 相关的设计矩阵，ε 是误差项。
应用：混合效应模型在许多领域都有广泛应用，如生物统计学、社会科学、经济学、心理学和生态学等。它们主要用于处理具有层次结构或组间关联的数据，例如学校、班级和学生的成绩；或者是具有重复测量数据的研究，例如在不同时间点对同一组个体进行观察。
与其他模型的比较：
与线性回归模型相比，混合效应模型能够处理更复杂的数据结构，并允许分析群体和个体差异。与广义线性模型（GLM）相比，混合效应模型还可以处理随机效应，而 GLM 只能处理固定效应。
优势：
劣势：
历史：
混合效应模型的历史可以追溯到20世纪初的统计学家，例如 R.A. Fisher 和 F. Yates。随着计算能力的提高，混合效应模型在20世纪60年代得到了更广泛的应用。在20世纪80年代和90年代，混合效应模型应用的进一步发展，包括计算方法和理论的拓展，使得混合效应模型在各个领域变得越来越流行。特别是随着计算机技术的发展，使得复杂混合效应模型的拟合和分析变得更加容易。
R语言中混合效应模型：
在R语言中，有多个可用于拟合混合效应模型的包，如 nlme（用于线性和非线性混合效应模型）和 lme4（用于线性混合效应模型）。这些软件包使得R成为了混合效应模型分析的有力工具。
总的来说，混合效应模型已成为处理复杂数据结构的重要统计方法。它们在许多领域都取得了显著的成功，帮助研究人员更好地理解群体和个体差异以及各种数据中的层次结构。随着统计方法和计算技术的不断发展，我们可以期待混合效应模型在未来的应用将更加广泛和精确。
02
实例：使用lmer包构建混合线性回归模型
背景：以下是一个使用 R 语言的 lmer 包（lme4）构建混合线性回归模型的完整实例。这个示例使用的是一个虚构的藻类数据集，我们将根据湖泊的化学参数（例如 pH、磷酸盐浓度）预测藻类生物量。数据集假设有 100 个湖泊，每个湖泊有 3 个样点。
① 加载库：
# R语言构建混合线性模型# 清除变量rm(list = ls())# 安装 lme4 包，如果还未安装# install.packages("lme4")# 加载 lme4 包library(lme4)
② 构建数据：
# 创建虚拟数据集set.seed(123) # 为了可重复性# 创建一个虚拟的藻类数据集n_lakes <- 100n_samples <- 3lakes <- factor(rep(1:n_lakes, each=n_samples))# 生成随机化学参数pH <- rnorm(n_lakes * n_samples, mean=7, sd=0.5)phosphate <- rnorm(n_lakes * n_samples, mean=10, sd=3)# 生成随机藻类生物量algae_biomass <- rnorm(n_lakes * n_samples, mean=50, sd=10) + 5 * (pH - 7) - 2 * (phosphate - 10)# 将数据整合到数据框中algae_data <- data.frame(lake=lakes, pH=pH, phosphate=phosphate, algae_biomass=algae_biomass)head(algae_data)
③ 使用 lmer() 函数构建混合线性回归模型：
这一步，我们使用 lmer() 函数构建混合线性回归模型，固定效应为pH 和 phosphate，随机效应为湖泊 (lake)。
# 使用 lmer() 函数构建混合线性回归模型# 固定效应：pH 和 phosphate# 随机效应：湖泊 (lake)model <- lmer(algae_biomass ~ pH + phosphate + (1|lake), data=algae_data)
查看模型摘要：
# 查看模型摘要summary(model)
summary(model) 的解释：
summary(model) 提供了模型的详细摘要。主要关注以下几个方面：
④ 模型的诊断和验证：
A）残差图
残差图：展示了模型残差与拟合值之间的关系。理想情况下，残差应该在 0 附近随机分布，且无明显的模式。如果残差图显示出某种模式，可能意味着模型未能充分捕捉数据中的某些结构。
# 检查残差图plot(resid(model))
B）QQ图：
QQ 图：用于检查残差是否符合正态分布。理想情况下，残差点应该沿着 45 度线排列。如果残差点偏离 45 度线，可能说明残差不符合正态分布，需要进一步检查数据和模型。
# 检查QQ图qqnorm(resid(model))qqline(resid(model))
C）检查随机效应分布的直方图：
检查随机效应分布的直方图有助于我们了解随机效应（在这个例子中是湖泊）的分布特征。理想情况下，随机效应的分布应该接近正态分布，即呈现出钟形曲线。这是因为混合效应模型通常假设随机效应服从正态分布。
当查看随机效应分布的直方图时，关注以下几点：
通过观察随机效应分布的直方图，我们可以了解随机效应在模型中的表现混合矩阵，以及混合效应模型是否合适。如果随机效应分布存在问题，我们可能需要调整模型或尝试其他方法。
# 检查随机效应的分布hist(unlist(ranef(model)$lake))
D）实际值与预测值的对比图
实际值与预测值的对比图：显示了模型预测值与实际观测值之间的关系。理想情况下，点应该沿着对角线排列，表示预测值与实际值非常接近。这有助于我们了解模型在预测方面的表现。
# 比较原始数据和预测值plot(algae_data$algae_biomass, predict(model), xlab="Observed Algae Biomass", ylab="Predicted Algae Biomass")abline(0, 1, col="red") # 添加对角线，表示完美预测
总之，通过 summary(model) 和相关图形，我们可以了解模型的整体性能、变量之间的关系以及模型的假设是否得到满足。结合这些信息，我们可以判断模型是否合适，是否需要调整模型或探索其他建模方法。
现在：
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